曾鈺成《不是算術》

最近幾位友人不約而同地發來以下問題:1=4,2=8,3=24,4=?

這問題似乎已廣為流傳,吸引了不少人的興趣。有人得意地表示自己答對了;另有人則自怨中了圈套,提出「96」這「錯誤」答案。

他們看到每個等號右邊的數,都是該等號左邊的數乘前一個等號右邊的數:

  • 2x4=8,3x8=24

所以接著應是 4x24=96。

又或者他們用了「階乘」n!,看到 4、8、24…… 這序列的規律是:

  • 4x1!=4,4x2!=8,4x3!=24

所以下一個是 24x4!=96。

誰知出題者說:「嘿,中計了!正確的答案很簡單:因為 1=4,所以 4=1。」

這問題蠱惑的地方在於中間兩個等式 2=8 和 3=24,原來都是「假線索」,用來擾亂思路,把解題者引入歧途。真正的線索,是題目的寫法:如果真的要從已知的首三項求出下一項,題目不會列出「1=4、2=8、……」,只會問「4,8,24,下一項是甚麼?」。這是一類常見 IQ 題的形式。

作為數學教師,對於「因為 1=4,所以 4=1」這推斷,不能不多說幾句。這推斷的依據,是「=」這關係的「對稱性」:當 a=b,必有 b=a。

並不是所有關係都是對稱的,例如 a<b 時,便不可能 b<a;又如「同學」關係對稱(倘甲是乙的同學,乙必也是甲的同學),但「朋友」或「敵人」關係都不一定對稱。「當 a=b,必有 b=a」裡面的「=」,表示算術裡的相等關係,這關係是對稱的,所有小學生都知道。

可是,上面那條蠱惑題所用的「=」,是表示算術裡的相等關係嗎?顯然不是;如果是算術裡的相等,就不可能有「1=4、2=8」。即是說,題目裡的「=」表示的是另一個關係,而這關係是不是對稱的,沒法從已知條件推斷得到。

事實上,除了表示算術的相等之外,「=」還有其他用法,例如編寫電腦程序,常會用「n=n+1」這指令,表示把先前使用的 n 的值換作 n+1 的值。這裡的「=」就不是對稱的。在不知道「=」所代表的關係怎麼定義的時候,我們不能說「因為 1=4,所以 4=1」。

話說回來,假如問的是「正路」的 IQ 題「4,8,24,下一項是甚麼」,你會答 96,對嗎?讀數學的人卻會說:任何數都可以是答案。

  • 原載:《Am 730》